王挺革的回答：

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具。它包括： （1）拉格朗日定理 内容： 如果函数f(x)满足： 1)在闭区间[a,b]上连续； 2)在开区间(a,b)内可导。 那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)， 使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。 [中值定理]分为：微分中值定理和积分中值定理： f(x)在a到b上的积分等于a-b分之一倍的f(a)-f(b)ξ （2）罗尔定理 内容： 如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f^\prime(\xi)=0。 补充 如果函数f(x)满足： 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0. 几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， 弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的.： （3）柯西中值定理 内容： 如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0 那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ) 成立 （4）费马中值定理 内容： 设函数f(x)在ξ处取得极值 且f(x)在点ξ处可导 则f'(ξ)=0. 推论：若函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）在I内的点c处达到 且f(x)在点c处可导 则f'(c)=0. （5）泰勒公式 内容：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 推论：麦克劳林公式 内容： 若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1. (6)洛必达法则 内容： 设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a时limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a时limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x)。 又设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x)。 （7）达布定理 内容： 若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值. 推广：若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值 一元微积分的论文算不？ 关于微积分学的论文 关于微积分学的理论体系 摘要:本文从微分中值定理和积分中值定理出发.沿波讨源.探讨了微积分学的理论体系.特别证明了闭区间上连续函数的三个性质与实数连续性的等价性. 关键词:实数连续性定理,等价 在F`(x)=f(x)于闭区间〔a.b〕连续的条件下.F(x)的微分与f(x)的积分构成的矛盾.通过微分中值定理和积分中值定理可把矛盾的双方揭示为统一.从而建立了实一元函数微积分的基本定理和基本公式.那么这两个中值定理又是如何建立的呢?我们沿波讨源.便得到实分析的理论体系.这就是刻划实数连续性的一些定理.即实分析的理论之源.微分中值定理可由下边定理推出(见文献(1)) 定理1若f(x)在〔a.b〕连续.则f(x)在〔a.b〕上必有上下界.此定理可由下边定理推出. 定理2若f(x)在〔a.b〕连续.则f(x)在〔a.b〕一致连续. 下证由定理2推出定理1: 取定ε＞0.vδ＞0.对Px`.x``∈〔a.b〕.vδ＞0.使当|x`-x``|＜δ时.恒有|f(x`)-f(x``)|＜ε等分〔a.b〕为 n个子区间〔xi-1.xi〕(i=1.2...n).使b-a n ＜δ(x0=a.xn=b).于是对任一x∈〔a.b〕.此x必在〔a.b〕 的分成的某个小区间〔xk-1.xk〕(1≤k≤n)上. 当x∈〔xk-1.xk〕时.有 f(x)-f(a)=f(x)-f(xk-1)+f(xk-1)-f(xk-2)+.+f(x2)-f(x1)+f(x1)-f(a)当x=xk-1时.有 f(x)-f(a)=f(xk-1)-f(xk-2)+.+f(x2)-f(x1)+f(x1)-f(a) 从而当x∈〔xk-1.xk〕时.有 |f(x)-f(a)|≤|f(xk)-f(xk-1)|+|f(xk-1)-f(xk-2)|+.+|f(x2)-f(x1)|+|f(x1)-f(a)| ≤ε+ε+.+ε=kε 于是当∈〔a.b〕时.有 f(a)-kε＜f(x)＜f(a)+kε.故定理1真. 定理2又可由下边定理推出(见文献(1)). 定理3设D是一个开区间集.且D覆盖一个闭区间〔a.b〕.则D中必v有限个开区间覆盖〔a.b〕. 积分中值定理由下边定理推出(见文献(1)). 定理4若f(x)在〔a.b〕连续.且f(a)·f(b)＜0.则必v一个实数c∈〔a.b〕.使得f(c)=0. 上边定理又可由下述定理推出(见文献(1)). 定理5若闭区间列〔a1.b1〕.〔a2.b2〕..〔an.bn〕..满足条件: (1)〔an+1.bn+1〕＜〔an.bn〕.n=1.2... (2)lim nv∞ (bn-an)=0. 则必v一个实数α∈〔an.bn〕.n=1.2... 在文献(2)中已证明了定理3.定理5以及下边的六个定理它们都是等价的: 定理6有上(下)界的实数集.必有唯一的上(下)确界. 定理7单调有界数列必有有限极限. 定理8任何有界无穷点集都有聚点. 定理9任何有界无穷数列必有收敛子列. 定理10数列{xn}收敛到有限极限的充要条件是: Pε＞0.v自然数N.当m.n＞N时.恒有|xm-xn|＜ε. 定理11把实数集分为适合下列条件的两组A.B (1)A.B皆为非空集, (2)每个实数或属于A或属于B.且仅属于一组, (3)A中每一数小于B中每一数, 这样的分割记为A|B.则实数的任一分割A|B.必唯一确定一实数α.它或是A中最大数.或是B中 最小数. 以下证明定理1.定理2以及定理4与上述八个定理也是相互等价的. 其实由定理4〕定理11 定理11的条件显然等价于条件:<设〔a.b〕是实数集的任一闭区间.则对〔a.b〕的任何分割A|B都 唯一确定一个实数α.它或是A中最大数或是B中的最小数.> 所谓对〔a.b〕的分割A|B.是把〔a.b〕中的实数分为满足下列条件的两组: (1)A.B皆为非空集, (2)每个〔a.b〕中的数.或属于A.或属于B.且仅属于一组, (3)A中每一数小于B中每一数. 如果定理11不真.即存在一个〔a.b〕及〔a.b〕的一个分割A|B.使A中既无最大数.B中也无最小 数.在〔a.b〕上定义一个函数 f(x)= 1..x∈A, -1..x∈B. 任取x0∈A且x0≠a.因为A中无最大数.故vx1∈A.使x1＞x0,因实数稠 密.故vx2∈A使a＜x2＜x0.取δ=min{|x1-x0|.|x2-x0|}.则当|x-x0|＜δ时.有|f(x)-f(x0)|=|- 1-(-1)|=0.从而f(x)在x0连续,同理知f(x)在a连续.故f(x)在A连续,仿此可证f(x)在B连续, 故f(x)在〔a.b〕连续.又f(a)·f(b)＜0.且对〔a.b〕任一点x.f(x)≠0.即得出一个在〔a.b〕连续.端点 函数值异号但在〔a.b〕每一点都不为0的函数与定理4矛盾.故定理11真. 再由定理1〕定理11: 证:若定理11不真.则v一个有界单调增加但又无上确界的数列x1＜x2＜.＜xn＜..xn＜a.(n= 1.2..).将〔x1.a〕分为两组A与B.其中B为〔x1.a〕中大于xn(n=1.2..)的数的全体.其中A为〔x1. a〕中其余数的全体.则A|B是〔x1.a〕中的一个分割.显然A中无最大数.B为无最小数.在〔x1.a〕上定 义函数, f(x)= 0.x∈B n.x=xn.(n=1.2..) i+ x-xi xi+1-xi xi＜x＜xi+1.(i=1.2..) 则f(x)在〔x1.a〕连续.但它又在〔x1.a〕无界.与定 理1矛盾.所以定理11为真. 总上知.上述11个定理是相互等价的.

魏小宝的回答：

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具。它包括： （1）拉格朗日定理 内容： 如果函数f(x)满足： 1)在闭区间[a,b]上连续； 2)在开区间(a,b)内可导。 那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)， 使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。 [中值定理]分为：微分中值定理和积分中值定理： f(x)在a到b上的积分等于a-b分之一倍的f(a)-f(b)ξ （2）罗尔定理 内容： 如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f^\prime(\xi)=0。 补充 如果函数f(x)满足： 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0. 几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， 弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的.： （3）柯西中值定理 内容： 如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0 那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ) 成立 （4）费马中值定理 内容： 设函数f(x)在ξ处取得极值 且f(x)在点ξ处可导 则f'(ξ)=0. 推论：若函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）在I内的点c处达到 且f(x)在点c处可导 则f'(c)=0. （5）泰勒公式 内容：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 推论：麦克劳林公式 内容： 若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1. (6)洛必达法则 内容： 设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a时limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a时limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x)。 又设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x)。 （7）达布定理 内容： 若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值. 推广：若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值 一元微积分的论文算不？ 关于微积分学的论文 关于微积分学的理论体系 摘要:本文从微分中值定理和积分中值定理出发.沿波讨源.探讨了微积分学的理论体系.特别证明了闭区间上连续函数的三个性质与实数连续性的等价性. 关键词:实数连续性定理,等价 在F`(x)=f(x)于闭区间〔a.b〕连续的条件下.F(x)的微分与f(x)的积分构成的矛盾.通过微分中值定理和积分中值定理可把矛盾的双方揭示为统一.从而建立了实一元函数微积分的基本定理和基本公式.那么这两个中值定理又是如何建立的呢?我们沿波讨源.便得到实分析的理论体系.这就是刻划实数连续性的一些定理.即实分析的理论之源.微分中值定理可由下边定理推出(见文献(1)) 定理1若f(x)在〔a.b〕连续.则f(x)在〔a.b〕上必有上下界.此定理可由下边定理推出. 定理2若f(x)在〔a.b〕连续.则f(x)在〔a.b〕一致连续. 下证由定理2推出定理1: 取定ε＞0.vδ＞0.对Px`.x``∈〔a.b〕.vδ＞0.使当|x`-x``|＜δ时.恒有|f(x`)-f(x``)|＜ε等分〔a.b〕为 n个子区间〔xi-1.xi〕(i=1.2...n).使b-a n ＜δ(x0=a.xn=b).于是对任一x∈〔a.b〕.此x必在〔a.b〕 的分成的某个小区间〔xk-1.xk〕(1≤k≤n)上. 当x∈〔xk-1.xk〕时.有 f(x)-f(a)=f(x)-f(xk-1)+f(xk-1)-f(xk-2)+.+f(x2)-f(x1)+f(x1)-f(a)当x=xk-1时.有 f(x)-f(a)=f(xk-1)-f(xk-2)+.+f(x2)-f(x1)+f(x1)-f(a) 从而当x∈〔xk-1.xk〕时.有 |f(x)-f(a)|≤|f(xk)-f(xk-1)|+|f(xk-1)-f(xk-2)|+.+|f(x2)-f(x1)|+|f(x1)-f(a)| ≤ε+ε+.+ε=kε 于是当∈〔a.b〕时.有 f(a)-kε＜f(x)＜f(a)+kε.故定理1真. 定理2又可由下边定理推出(见文献(1)). 定理3设D是一个开区间集.且D覆盖一个闭区间〔a.b〕.则D中必v有限个开区间覆盖〔a.b〕. 积分中值定理由下边定理推出(见文献(1)). 定理4若f(x)在〔a.b〕连续.且f(a)·f(b)＜0.则必v一个实数c∈〔a.b〕.使得f(c)=0. 上边定理又可由下述定理推出(见文献(1)). 定理5若闭区间列〔a1.b1〕.〔a2.b2〕..〔an.bn〕..满足条件: (1)〔an+1.bn+1〕＜〔an.bn〕.n=1.2... (2)lim nv∞ (bn-an)=0. 则必v一个实数α∈〔an.bn〕.n=1.2... 在文献(2)中已证明了定理3.定理5以及下边的六个定理它们都是等价的: 定理6有上(下)界的实数集.必有唯一的上(下)确界. 定理7单调有界数列必有有限极限. 定理8任何有界无穷点集都有聚点. 定理9任何有界无穷数列必有收敛子列. 定理10数列{xn}收敛到有限极限的充要条件是: Pε＞0.v自然数N.当m.n＞N时.恒有|xm-xn|＜ε. 定理11把实数集分为适合下列条件的两组A.B (1)A.B皆为非空集, (2)每个实数或属于A或属于B.且仅属于一组, (3)A中每一数小于B中每一数, 这样的分割记为A|B.则实数的任一分割A|B.必唯一确定一实数α.它或是A中最大数.或是B中 最小数. 以下证明定理1.定理2以及定理4与上述八个定理也是相互等价的. 其实由定理4〕定理11 定理11的条件显然等价于条件:<设〔a.b〕是实数集的任一闭区间.则对〔a.b〕的任何分割A|B都 唯一确定一个实数α.它或是A中最大数或是B中的最小数.> 所谓对〔a.b〕的分割A|B.是把〔a.b〕中的实数分为满足下列条件的两组: (1)A.B皆为非空集, (2)每个〔a.b〕中的数.或属于A.或属于B.且仅属于一组, (3)A中每一数小于B中每一数. 如果定理11不真.即存在一个〔a.b〕及〔a.b〕的一个分割A|B.使A中既无最大数.B中也无最小 数.在〔a.b〕上定义一个函数 f(x)= 1..x∈A, -1..x∈B. 任取x0∈A且x0≠a.因为A中无最大数.故vx1∈A.使x1＞x0,因实数稠 密.故vx2∈A使a＜x2＜x0.取δ=min{|x1-x0|.|x2-x0|}.则当|x-x0|＜δ时.有|f(x)-f(x0)|=|- 1-(-1)|=0.从而f(x)在x0连续,同理知f(x)在a连续.故f(x)在A连续,仿此可证f(x)在B连续, 故f(x)在〔a.b〕连续.又f(a)·f(b)＜0.且对〔a.b〕任一点x.f(x)≠0.即得出一个在〔a.b〕连续.端点 函数值异号但在〔a.b〕每一点都不为0的函数与定理4矛盾.故定理11真. 再由定理1〕定理11: 证:若定理11不真.则v一个有界单调增加但又无上确界的数列x1＜x2＜.＜xn＜..xn＜a.(n= 1.2..).将〔x1.a〕分为两组A与B.其中B为〔x1.a〕中大于xn(n=1.2..)的数的全体.其中A为〔x1. a〕中其余数的全体.则A|B是〔x1.a〕中的一个分割.显然A中无最大数.B为无最小数.在〔x1.a〕上定 义函数, f(x)= 0.x∈B n.x=xn.(n=1.2..) i+ x-xi xi+1-xi xi＜x＜xi+1.(i=1.2..) 则f(x)在〔x1.a〕连续.但它又在〔x1.a〕无界.与定 理1矛盾.所以定理11为真. 总上知.上述11个定理是相互等价的.