任桂卓的回答：这一个的收敛域，是跟θ有关的， 若θ=kπ/2, k=0, 正负1，正负2......, r^ncos(nθ)/n=0, 此时收敛域是(负无穷，正无穷） 若θ=2kπ， k=0, 正负1，正负2......, r^ncos(nθ)/n=(-1)^(2kn)*r^n/n=r^n/n, 此时的收敛域是[-1,1) 若θ=(2k+1)π， k=0, 正负1，正负2......, r^ncos(nθ)/n=(-1)^[(2k+1)n]*r^n/n=(-1)^n*r^n/n, 收敛域是(-1,1] 其他情况下，由于|cos(nθ)|<=1, |r^ncos(nθ)/n|<|r^n/n| 收敛域跟r^n/n是相同的，除了端点-1 所以收敛域是（-1,1） 谭明辉的回答：这一个的收敛域，是跟θ有关的， 若θ=kπ/2, k=0, 正负1，正负2......, r^ncos(nθ)/n=0, 此时收敛域是(负无穷，正无穷） 若θ=2kπ， k=0, 正负1，正负2......, r^ncos(nθ)/n=(-1)^(2kn)*r^n/n=r^n/n, 此时的收敛域是[-1,1) 若θ=(2k+1)π， k=0, 正负1，正负2......, r^ncos(nθ)/n=(-1)^[(2k+1)n]*r^n/n=(-1)^n*r^n/n, 收敛域是(-1,1] 其他情况下，由于|cos(nθ)|<=1, |r^ncos(nθ)/n|<|r^n/n| 收敛域跟r^n/n是相同的，除了端点-1 所以收敛域是（-1,1） 韩彩元的回答：利用欧拉公式 e^(inθ)=cos(nθ)+isin(nθ) Σr^ncos(nθ)/n =Σr^nRe[e^(inθ)]/n =Re[Σr^ne^(inθ)/n] =Re{Σ[re^(iθ)]^n/n} 令z=re^(iθ) 先不看Re，那加和变为 Σz^n/n, n从1开始到无穷 要收敛用比值判定，必然|z|<1 边界处z=-1也收敛(交错级数)，即z的收敛域为[-1,1) 然后求和 令S=Σz^n/n, n从1开始到无穷 S'=Σz^(n-1)=1/(1-z) (几何级数) S=积分 1/(1-z) dz =-ln|1-z|=-ln|1-re^(iθ)| Σr^ncos(nθ)/n=Re[-ln|1-re^(iθ)|]=-ln[(1-rcosθ)^2+(rsinθ)^2]=-ln[1+r^2-2rcosθ] 收敛域为 1.当θ=2kpi时 e^(iθ)=1, z=r可以等于-1 r属于[-1,1) 2.当θ=2kpi+pi时 e^(iθ)=-1, z=-r可以等于-1，r可以取1 r属于(-1,1] 3.当θ=2kpi加减pi/2时 z=0 恒收敛，收敛域为R 4.θ不属于以上三种，则 r属于(-1,1) irony的回答：ρ=lim(an+1)/an=(n/n+1)^n=1 (n→∞) 收敛半径r=1/ρ=1 x=1,-1带入一下都是收敛的 收敛区间[-1，1] |
