陈华章的回答：补充平面∑1：z＝1(x2+y2≤1)取下侧，补充平面∑2：z＝2(x2+y2≤4)取上侧， 设S+∑1+∑2所围成的立体区域为Ω，∑1在xoy面的投影为D1，∑2在xoy面的投影为D2，则由高斯公式和第二类曲面积分的计算，得 ? S y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy = ∫∫ S+∑1+∑2 y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy- ? ∑1 y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy- ? ∑2 y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy = ∫∫∫ Ω (x+y)dxdydz+ ∫∫ D1 x(1?y)dxdy? ∫∫ D2 x(2?y)dxdy = ∫∫∫ Ω xdxdydz+ ∫∫∫ Ω ydxdydz+ ∫∫ D1 xdxdy? ∫∫ D1 xydxdy- ∫∫ D2 2xdxdy+ ∫∫ D2 xydxdy 对于两个三重积分，由于被积函数x是关于x的奇函数，而积分立体区域Ω是关于yoz面对称的；被积函数y是关于y的奇函数，而积分立体区域Ω是关于xoz面对称的 因而 ∫∫∫ Ω xdxdydz＝ ∫∫∫ Ω ydxdydz=0， 对于以D1为积分区域的二重积分，由于被积函数x和xy是关于x的奇函数，而积分区域D1是关于y轴对称的 因而 ∫∫ D1 xdxdy＝ ∫∫ D1 xydxdy=0 同理， ∫∫ D2 2xdxdy＝ ∫∫ D2 xydxdy＝0 ∴原式=0 宋晓云的回答：补充平面∑1：z＝1(x2+y2≤1)取下侧，补充平面∑2：z＝2(x2+y2≤4)取上侧， 设S+∑1+∑2所围成的立体区域为Ω，∑1在xoy面的投影为D1，∑2在xoy面的投影为D2，则由高斯公式和第二类曲面积分的计算，得 ? S y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy = ∫∫ S+∑1+∑2 y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy- ? ∑1 y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy- ? ∑2 y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy = ∫∫∫ Ω (x+y)dxdydz+ ∫∫ D1 x(1?y)dxdy? ∫∫ D2 x(2?y)dxdy = ∫∫∫ Ω xdxdydz+ ∫∫∫ Ω ydxdydz+ ∫∫ D1 xdxdy? ∫∫ D1 xydxdy- ∫∫ D2 2xdxdy+ ∫∫ D2 xydxdy 对于两个三重积分，由于被积函数x是关于x的奇函数，而积分立体区域Ω是关于yoz面对称的；被积函数y是关于y的奇函数，而积分立体区域Ω是关于xoz面对称的 因而 ∫∫∫ Ω xdxdydz＝ ∫∫∫ Ω ydxdydz=0， 对于以D1为积分区域的二重积分，由于被积函数x和xy是关于x的奇函数，而积分区域D1是关于y轴对称的 因而 ∫∫ D1 xdxdy＝ ∫∫ D1 xydxdy=0 同理， ∫∫ D2 2xdxdy＝ ∫∫ D2 xydxdy＝0 ∴原式=0 雅人深致的回答：支持一下感觉挺不错的 |
