霓彩儿的回答：在两位的自然数中，最小的是10,最大的是99,它们的平方数分别为100和9801,因此，所有两位数的平方数或是三位数或是四位数，把这些平方数从右向左，两位一段地划分，只能分作两段，第一段（从右数）中的数是两位数或者是0,第二段中的数是一位数或两位数。我们所寻求的是这样的两位数：把它的平方数从右向左两位一段地划分为两段后，这两段中的数的和恰好是原来的两位数。所以容易判断，20,30,…，80和90不是所求的两位数。 现在考虑设未知数的问题，这是个关键问题，未知数选择得恰当，问题的解决就比较顺利，未知数选择得不恰当，问题的解决就比较困难，甚至无法解决。在探讨中，如果设所求的两位数是10x－y（即十位数字是x，个位数字是y），那么，它的平方数是（10x＋y）2＝100x2＋20xy＋y2,就列不出方程了，这样设未知量是行不通的。 现在换一个设法———倒过来设。所求的两位数在平方以后，从右向左两位一段地分为两段后，依次设第一段中的数是y，第二段中的数是x，那么，所求的两位数是x＋y，即两位数的平方是（x＋y）2,同时也是100x＋y，因而有（x＋y）2＝100x＋y，整理为x2＋（2y－100）x＋（y2－y）＝0,以x为元，解这个一元二次方程得 因为x是自然数，所以2500－99y一定是完全平方数。可设2500－99y＝t2,t≥0并且是整数，由此式得（50＋t）（50－t）＝11?9?y。由这个式子可知（50＋t）（50－t）是11的倍数，但11是质数，因而50＋t和50－t中必有一个是11的倍数。又由（50＋t）（50－t）＝99y≥0及t≥0可得0≤t≤50,当50－t是11的倍数时，由0≤t≤50得0≤50－t≤50,所以50－t＝0,11,22,33,44；于是t＝50,39,28,17,6；把这些值代入到（50＋t）（50－t）＝99y中，得到的y值是 这五个数都不是非负整数，故不合要求。当50＋t是11的倍数时，0≤t≤50可得50≤50＋t≤100,所以50＋t＝50,55,66,77,88,99,于是t＝05,16,27,38,49,把这些t值依次代入到（50＋t）（50－t）＝99y中，得到 其中只有y＝25和1符合要求，把这两个值依次代入到中，得到对应的x值：y－25时，x＝20或30。y＝1时，x＝98或0（0舍去）。因此合乎要求的数是x＋y＝45,55,99。故所要寻求的数只有三个。 以上，我们研究了这样的两位数：它的平方数从向左地两位一段分成两段后，这两段中的数的和等于原来的两位数，我们证明了有这种奇妙性质的两位数只有三个，即45,55,99。 孙研的回答：在两位的自然数中，最小的是10,最大的是99,它们的平方数分别为100和9801,因此，所有两位数的平方数或是三位数或是四位数，把这些平方数从右向左，两位一段地划分，只能分作两段，第一段（从右数）中的数是两位数或者是0,第二段中的数是一位数或两位数。我们所寻求的是这样的两位数：把它的平方数从右向左两位一段地划分为两段后，这两段中的数的和恰好是原来的两位数。所以容易判断，20,30,…，80和90不是所求的两位数。 现在考虑设未知数的问题，这是个关键问题，未知数选择得恰当，问题的解决就比较顺利，未知数选择得不恰当，问题的解决就比较困难，甚至无法解决。在探讨中，如果设所求的两位数是10x－y（即十位数字是x，个位数字是y），那么，它的平方数是（10x＋y）2＝100x2＋20xy＋y2,就列不出方程了，这样设未知量是行不通的。 现在换一个设法———倒过来设。所求的两位数在平方以后，从右向左两位一段地分为两段后，依次设第一段中的数是y，第二段中的数是x，那么，所求的两位数是x＋y，即两位数的平方是（x＋y）2,同时也是100x＋y，因而有（x＋y）2＝100x＋y，整理为x2＋（2y－100）x＋（y2－y）＝0,以x为元，解这个一元二次方程得 因为x是自然数，所以2500－99y一定是完全平方数。可设2500－99y＝t2,t≥0并且是整数，由此式得（50＋t）（50－t）＝11?9?y。由这个式子可知（50＋t）（50－t）是11的倍数，但11是质数，因而50＋t和50－t中必有一个是11的倍数。又由（50＋t）（50－t）＝99y≥0及t≥0可得0≤t≤50,当50－t是11的倍数时，由0≤t≤50得0≤50－t≤50,所以50－t＝0,11,22,33,44；于是t＝50,39,28,17,6；把这些值代入到（50＋t）（50－t）＝99y中，得到的y值是 这五个数都不是非负整数，故不合要求。当50＋t是11的倍数时，0≤t≤50可得50≤50＋t≤100,所以50＋t＝50,55,66,77,88,99,于是t＝05,16,27,38,49,把这些t值依次代入到（50＋t）（50－t）＝99y中，得到 其中只有y＝25和1符合要求，把这两个值依次代入到中，得到对应的x值：y－25时，x＝20或30。y＝1时，x＝98或0（0舍去）。因此合乎要求的数是x＋y＝45,55,99。故所要寻求的数只有三个。 以上，我们研究了这样的两位数：它的平方数从向左地两位一段分成两段后，这两段中的数的和等于原来的两位数，我们证明了有这种奇妙性质的两位数只有三个，即45,55,99。 |
