曾晓薇的回答：在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。
方程式如下：
其中u=u(t,x) 是t和x的双变量函数。
x是空间变量，所以x∈ [0,L]，其中L表示棍子长度。t是时间变量，所以t≥ 0。 假设下述初始条件
其中函数f是给定的。再配合下述边界条件
让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：
这套技术称作分离变量法。现在将u代回方程式 (1)，
由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数 ? λ，于是：
以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解：
假设 λ < 0，则存在实数B、C使得 从 (3) 得到 于是有B= 0 =C，这蕴含u恒等于零。 假设 λ = 0，则存在实数B、C使得 仿上述办法可从等式 (3) 推出u恒等于零。 因此必然有 λ > 0，此时存在实数A、B、C使得 从等式 (3) 可知C= 0，因此存在正整数n使得 由此得到热方程形如 (4) 的解。
一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出。
|
