王世金：反函数求导法则，并推导一下二阶导数公式

任艳的回答：

如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f?1(x)y=f?1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且 [f?1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy [f?1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy 这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 例：? 设x=siny，y∈[?π2,π2]x=sin?y，y∈[?π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsin?x是它的反函数，求反函数的导数.? 解：函数x=sinyx=sin?y在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos?y≠0? 因此，由公式得 (arcsinx)′=1(siny)′ (arcsin?x)′=1(sin?y)′ =1cosy=11?sin2y????????√=11?x2?????√ =1cos?y=11?sin2?y=11?x2 如果在求解过程中遇到不好直接求出的三角函数，可以使用画三角形法求解 设 ,则 ，应视为y的函数?[1]? 则 = （定义） = = （复合函数求导，x是中间变量） = = 所以，反函数的二阶导数不是原函数二阶导数的倒数。

黄鸿明的回答：

如图

张玉春的回答：

y=f(x) 要求d^2x/dy^2 dx/dy=1/(dy/dx)=1/y' d^2x/dy^2=d(dx/dy)/dx*dx/dy =-y''/y'^2*1/y' =-y''/y'^3