邓晓波的回答：海伦公式定义： 假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2 用这个可以在已知三角形三边的条件下求三角形面积 大侠客的回答：海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p = (a b c),则 s△abc = aha= ab×sinc = r p = 2r2sinasinbsinc = = 其中，s△abc = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 s= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。 证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ s△abc = aha= a× = 此时s△abc为变形④，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:△abc边bc上任取一点d， 若bd=u，dc=v,ad=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ s△abc = aha = a × = 此时为s△abc的变形⑤，故得证。 证三：余弦定理 分析：由变形② s = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 b2 －2abcosc 对其进行证明。 证明：要证明s = 则要证s = = = ab×sinc 此时s = ab×sinc为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 分析：考虑运用s△abc =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠a ∠b ∠c =180○那么 tg · tg tg · tg tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： = ①②③代入，得： ∴r2(x y z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x z)＋(x y)－(z y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= s△abc 右边为海伦公式变形①，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz ∵由证一，x = = －c = p－c y = = －a = p－a z = = －b = p－b ∴ r3 = ∴ r = ∴s△abc = r·p = 故得证。 三、 海伦公式的推广 由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形abcd中，设p= ,则s四边形= 现根据猜想进行证明。 证明：如图，延长da，cb交于点e。 设ea = e eb = f ∵∠1 ∠2 =180○ ∠2 ∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△eab～△ecd ∴ = = = 解得： e = ① f = ② 由于s四边形abcd = s△eab 将①，②跟b = 代入公式变形④，得： ∴s四边形abcd = = = = = = = = = = = 所以，海伦公式的推广得证。 四、 海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 例题：如图，四边形abcd内接于圆o中，sabcd = ,ad = 1,ab = 1, cd = 2. 求：四边形可能为等腰梯形。 解：设bc = x 由海伦公式的推广，得： = (4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0 (x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 当x = 1时，ad = bc = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。 |
